Matematisk problemlösning

Vill du öva på provet digitalt?

Klicka på "Gör uppgifter" här ovanför så kan du göra provet och se om du får rätt eller fel direkt.

Lösningsförslag

1.     \(x + \frac{1}{4} = \frac{1}{8}\)

Vilket värde har x?

  1. \(-\frac{3}{8}\)
  2. \(-\frac{1}{8}\)
  3. \(\frac{1}{4}\)
  4.  \(\frac{1}{2}\)

Dra ifrån \(\frac{1}{4}\) på båda sidor ⇒ $$x = \frac{1}{8} - \frac{1}{4}$$ Minsta gemensamma nämnare i H.L. är 8 ⇒ $$x = \frac{1-2}{8} = -\frac{1}{8}$$ Svar: B

 2.

  provpass 1 - uppgift 2 - vinkel v

Linjerna \(L_1\) och \(L_2\) är parallella. Hur stor är vinkeln \(v\)?

  1. \(102^{\circ}\)
  2. \(115^{\circ}\)
  3. \(139^{\circ}\)
  4. \(143^{\circ}\)

Kalla komplementvinkeln till \(v\) för \(y\) och komplementvinkeln till \(102^{\circ}\) för \(x\) $$x=180-102=78$$ $$37+x+y=180$$ $$=> y=180-37-78=65$$ $$v=180-y=180-65=115$$ Svar: B

 3.    Vilket svarsalternativ motsvarar uttrycket (3x + y)(x - y)?

  1. \(3x^2 - 2xy - y^2\)
  2. \(3x^2 + xy - y^2\)
  3. \(3x^2 - y^2\)
  4. \(3x^2 + 2xy - y^2\)

Multiplicera parenteserna med varandra $$=> 3x^2 - 3xy+xy-y^2 = 3x^2-2xy-y^2$$ Svar: A

4. \begin{align*}
f(x)&=4x+1\\
g(x)&=2\cdot f(x)-1
\end{align*} Vad är g(3)?

  1. 5
  2. 13
  3. 24
  4. 25

Sätt in \(f(x)\) i \(g(x)\) $$=> g(x)=2(4x+1)-1$$ sätt \(x=3\) $$=> g(3)=2(4\cdot 3+1)-1=25$$ Alternativt räknar man ut \(f(3)=4\cdot 3+1=13\) och sätter in det i \(g(x)\).

Svar: D

5.

provpass 1 - uppgift 5 - skuggade området i en rektangel

Fyrhörningen ABCD är en rektangel. Hur stor är arean av det skuggade området?

  1. 4 cm2
  2. 4,5 cm2
  3. 5 cm2
  4. 5,5 cm2

  1. Använd formeln för parallelltrapets \(A=\frac{h(1+AB)}{2}\) $$⇒ \frac{2(1+4)}{2}=5$$

  2. Har man glömt formeln.
    Antag basen i de vita trianglarna. Vid D \(=x\) och vid C \(=(4-1-x)=3-x\).
    Totala ytan av de vita trianglarna $$= \frac{2\cdot x}{2}+\frac{2\cdot (3-x)}{2} = x+3-x=3$$
    Oavsett värdet på \(x\) är ytan av de vita trianglarna = 3
    Hela rektangeln har ytan \(2\cdot 4 = 8\) ⇒ att den grå parallelltrapetsen har ytan \(= 8-3 = 5\)
    Svar: C

6. Vad är \(45\%\) av \(\frac{2}{9}\)?

  1. \(\frac{1}{9}\)
  2. \(\frac{1}{10}\)
  3. \(\frac{1}{11}\)
  4. \(\frac{1}{12}\)

Skriv \(45\%\) som decimalform \(= 0,45\) $$=> 0,45 \cdot \frac{2}{9}=\frac{45}{100}\cdot \frac{2}{9}=\frac{90}{900}=\frac{1}{10}$$ Svar: B

7. Hur lång tid tar det att färdas 18 km med hastigheten 20 m/s?

  1. 15 minuter
  2. 18 minuter
  3. 36 minuter
  4. 54 minuter

Om man vet att \(1\,m/s=3,6\; km/h\) får man direkt att hastigheten är $$20\cdot 3,6\; km/h=72\; km/h$$ 18 km är ¼ av 72 km och man hinner då 18 km på ¼ timme.

Om man inte kan omvandla m/s till km/h får man räkna ut det eftersom $$1\;m/s=60\;m/min=3\,600\;m/h=3,6\;km/h$$ Svar: A

8. För linjen L med ekvationen \(y = kx + m\) gäller att \(k\) är negativt. Linjen L skär y-axeln
i punkten (0, -4). Tillsammans med x-axeln och y-axeln avgränsar L en triangel med
arean 2 areaenheter.
Vilket svarsalternativ anger skärningspunkten mellan linjen L och x-axeln?

Koordinatsystemet kan användas för att lösa uppgiften.

provpass 1 - uppgift 8 - skärningspunkt

  1. \(\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\)
  2. (\(-1, 0\))
  3. (\(-2, 0\))
  4. (\(-4, 0\))

Eftersom \(k\) är negativt avtar \(y\) när \(x\) ökar. Triangeln skär då x-axeln för ett negativt \(x\), säg \(x=-a\), och höjden på triangeln är 4. Arean blir då \(a \cdot \frac{4}{2}=2a\) som ska vara 2, vilket ger \(a=1\) och \(x=-1\).

Svar: B

9. \begin{align*}
a&≠0\\
b&≠0
\end{align*} Vilket svarsalternativ motsvarar uttrycket \(\frac{b}{a}+\frac{1}{b}\)?

  1. \(\frac{b+1}{ab}\)
  2. \(\frac{b+1}{b+a}\)
  3. \(\frac{1}{a}\)
  4. \(\frac{b^2+a}{ab}\)

Vi gör liknämnigt genom att förlänga första termen med \(b\) och andra med \(a\). Vi får då $$\frac{b}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b^2}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{b^2+a}{ab}$$ Svar: D

10. Vilket av följande svarsalternativ är närmast värdet av \(\sqrt{\frac{44\cdot 4\;100}{200}}\)?

  1. 10
  2. 20
  3. 30
  4. 40

Vi förenklar $$\sqrt{\frac{44\cdot 4\;100}{200}}=\sqrt{22\cdot 41}=\sqrt{22\cdot 41}=\sqrt{902}≈ 30$$ Så 30 är väldigt nära!

Svar: C

11. Vera bildar ett tvåsiffrigt tal \(x\) genom att göra två slumpmässiga kast med en vanlig sexsidig tärning. Resultatet av det första kastet blir tiotalssiffran i \(x\), och resultatet av det andra kastet blir entalssiffran i \(x\). Hur stor är sannolikheten att x är större än 40?

  1. \(\frac{1}{4}\)
  2. \(\frac{1}{3}\)
  3. \(\frac{1}{2}\)
  4. \(\frac{2}{3}\)

En slumpmässigt kast ger 6 möjliga utfall (1-6) ⇒ två slumpmässiga kast ger (\(6\cdot 6=36\)) möjliga utfall totalt.

För att \(x\) ska vara större än 40 måste tiotalssiffran (det första kastet) vara 4, 5 eller 6. För varje av dessa tre tiotalssiffror finns det 6 möjliga utfall för entalssiffran (det andra kastet), eftersom tärningen har 6 sidor (1, 2, 3, 4, 5 eller 6).

oavsett vad det andra tärningskastet blir (ett eller större). Tre olika utfall av de 6 möjliga. Det händer med en sannolikhet på 50% (1/2). Så de möjliga utfallen för att bygga ett tvåsiffrigt tal större än 40 är:

  • Antingen 4 med (1, 2, 3, 4, 5 eller 6) ⇒ 6 giltiga utfall
  • eller 5 med (1, 2, 3, 4, 5 eller 6) ⇒ 6 giltiga utfall
  • eller 6 med (1, 2, 3, 4, 5 eller 6) ⇒ 6 giltiga utfall

$$6 + 6 + 6 = 18 \,\text{giltiga utfall}$$ Sannolikheten för att få ett tvåsiffrigt tal större än 40 är $$\frac{\text{giltiga utfall}}{\text{Det totala antalet möjliga utfall}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$$ Svar: C

12. Vad är \(2\cdot 3^{-1}+3\cdot 3^{-2}\)

  1. \(5\cdot 3^{-1}\)
  2. \(\frac{11}{54}\)
  3. \(5\cdot 3^{-3}\)
  4. 1

\(2\cdot 3^{-1}=\frac{2}{3}\) och \(3\cdot 3^{-2}=1\cdot 3^{-1}=\frac{1}{3}\). Lägger man ihop får man 1.

Ett annat alternativ är att faktorisera $$2\cdot 3^{-1}+3\cdot 3^{-2} = 3^{-1}(2+3\cdot 3^{-1}) = 3(2+1) = 3^{-1}\cdot 3 = 1$$ Svar: D

Har du en fråga du vill ställa om Provpass 1 - XYZ? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se