Uppgift 27
27. M är cirkelns medelpunkt. Vilken radie har cirkeln?
(1) Längden av den markerade cirkelbågen AB är \( \pi \) cm.
(2) Längden av sträckan AB är \(2\sqrt{2}\) cm.
Tillräcklig information för lösningen erhålls
- i (1) men inte i (2)
- i (2) men inte i (1)
- i (1) tillsammans med (2)
- i (1) och (2) var för sig
- ej genom de båda påståendena
Vi tittar på de två påståendena var för sig. Anta att cirkeln har radien R, det är denna vi söker i första hand.
(1): vi vet att en cirkel med radien R har omkretsen \(2 \pi R \). I det här fallet så har vi en fjärdedels cirkel (kvarts-cirkel), som då alltså har en fjärdedel så lång cirkelbåge, dvs \( \frac{2 \pi R}{4} = \frac{\pi R}{2} \). Enligt (1) gäller då \( \frac{ \pi R}{2} = \pi \Leftrightarrow R = 2 \)
(2): Här får vi använda Pythagoras sats. De två katetrarna är lika, och lika med cirkelns radie, dvs R. Pythagoras sats ger
\[ \begin{align*} R^2 + R^2 &= (2\sqrt{2})^2 \Leftrightarrow\\ 2(R^2) &= (2\sqrt{2})^2 \Leftrightarrow\\ R\sqrt{2} &= 2\sqrt{2} \Leftrightarrow\\ R &= 2 \end{align*} \]
Från båda påståendena (1) och (2) var för sig får vi ett samstämmigt värde på R. Alternativ D är alltså korrekt.
Svar: D