Kvantitativa jämförelser

Vill du öva på provet digitalt?

Klicka på "Gör uppgifter" här ovanför så kan du göra provet och se om du får rätt eller fel direkt.

Lösningsförslag

13. Två vanliga sexsidiga tärningar kastas slumpmässigt en gång.

  1. Kvantitet I: Sannolikheten att summan av det tärningarna visar är 3, om den ena tärningen visar en tvåa
  2. Kvantitet II: Sannolikhet att summan av det tärningarna visar är 7, om den ena tärningen visar en tvåa
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

I båda kvantiteterna finns bara ett möjligt utfall för den andra tärningen:
i Kvantitet I måste den andra tärningen bli 1, och
i Kvantitet II måste den andra tärningen bli 5.
Därför blir sannolikheten lika stor för båda : ⅙.
Svar: C

14.

  1. Kvantitet I: \(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{27}\)
  2. Kvantitet II: \(3\)
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Vi börjar med Kvantitet I och förenklar den
\(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{27} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3\cdot 9} \)
Roten ur 9 är 3 och vi kan därför bryta ut detta
\(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3}= \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}\)
Nu kan vi lättare jämföra kvantiteterna
\(\sqrt{3} < 3 \)
alltså är II > I
Svar: B

15. Per kör vägen A–B–C–D utan paus. Mellan A och B är hans ­ medel­ hastighet 70 km/h. Mellan B och C är den 90 km/h och mellan C och D är den 70 km/h.

  1. Kvantitet I: Tiden det tar för Per att köra från A till D
  2. Kvantitet II: 2 timmar
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Vi börjar med att beräkna Kvantitet I genom att lägga ihop de olika tiderna det tar. För att få ut Pers tid delar vi sträckan på hastigheten för varje del
\(\frac{30}{70} + \frac{60}{90} + \frac{40}{70} = \frac{3}{7} + \frac{6}{9} + \frac{4}{7} = \frac{27+42+36}{7\cdot9} = \frac{105}{63} \text{ timmar } \)
Nu jämför vi med Kvantitet II
\(\frac{105}{63} < 2 \)
Alltså är II > I
Svar: B

16. För de positiva talen x och y gäller att 150 procent av x är lika med 50 procent av y.

  1. Kvantitet I: 3x
  2. Kvantitet II: y
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

150% av x kan skrivas som \(1,5x = \frac{3}{2}x \)
50% av y kan skrivas som \(0,5y = \frac{1}{2}y\)
Eftersom de är lika med kan vi skriva
\( \frac{3}{2}x = \frac{1}{2}y\)
Multiplicera båda leden med två ger oss våra kvantiteter \(3x = y\).
Svar: C

17. y < 0

  1. Kvantitet I: -2y
  2. Kvantitet II: -(2y)
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Kvantiteterna är detsamma, dvs \(-(2y) = -2y\)
Till exempel om \(y =-3\) får vi
\(-2y = -2\cdot (-3) = 6\) och
\(-(2y) = -(2\cdot (-3)) =-(-6) = 6\)

Svar: C

18.

z ≠ 90°

  1. Kvantitet I: x
  2. Kvantitet II: 90°-y
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Summa i triangel 180°, alltså vet vi att 180°=x+y+z, vi använder detta för att undersöka kvantiteterna
Kvantitet I: x=180-z-y
Kvantitet II: 90-y
Reducera båda kvantiterna med y
Är z<90 så blir Kvantitet I > Kvantitet II
Är z>90 så blir Kvantitet II> Kvantitet I
Alltså obestämbart pga otillräcklig information

Svar: D

19. L1, L2 och L3 är räta linjer. 
L1: y = 2x + 1
L2: y = -x + 4
L3: y = x

  1. Kvantitet I: x-koordinaten för skärningspunkten mellan L1 och L3
  2. Kvantitet II: x-koordinaten för skärningspunkten mellan L2 och L3
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Vi får skärningspunkten genom att sätta ekvationerna lika med varandra, vi byter alltså ut y mot den andra ekvationen och löser den
L1 och L3:
2x+1=x
x=-1
L2 och L3:
-x+4=x
2x=4
x=2
2>-1, därför är Kvantitet II större än I
Svar: B

20. \(x\) är ett heltal större än \(1\)

  1. Kvantitet I: \(\frac{x}{\frac{1}{x+1}}\)
  2. Kvantitet II: \(\frac{x+1}{x}\) 
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Skriv om Kvantitet I genom att multiplicera täljare och nämnare med \(x+1\) då får vi
\(\frac{x}{\frac{1}{x+1}} = \frac{x(x+1)}{\frac{1}{x+1} \cdot (x+1)} = x(x+1) \)
Kvantitet II = \( \frac{x+1}{x} \)
Nu jämför vi dem, och eftersom vi vet att \(x>1\) , därför är Kvantitet I större än Kvantitet II.
Svar: A

21. Den rätvinkliga triangeln T har sidlängderna 3 cm, 4 cm och 5 cm. T har lika stor area som kvadraten K.

  1. Kvantitet I: Omkretsen av T
  2. Kvantitet II: Omkretsen av K 
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

T har kateterna 3 och 4 och då har T och K samma area
\(A = \frac{3\cdot 4}{2}=6\)

Då kan vi ställa upp en ekvation där K har sidan \(x\),
\( x^2=6\)
\( x= \sqrt{6}\)
Nu kan vi beräkna våra kvantiteter som är omkretsen av T och K
Omkretsen för T \(=3+4+5=12\)
Omkretsen för K \(=4\cdot \sqrt{6} < 12\), eftersom \(\sqrt{6} < 3 = \sqrt{9} \)
Alltså omkrets av T > K och Kvantitet I > II

Svar: A

22.  \(y \neq 0\)

\(\frac{x+3y}{y}=2\)

  1. Kvantitet I: \(x\)
  2. Kvantitet II: \(y\)
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Vi tar \(\frac{x+3y}{y}=2\) och multiplicerar båda sidor med \(y\) och får
\(x+3y=2y\) minus \(3y\) på båda sidor ger oss \(x=-y\), som kan tolkas som en rät (negativ) linje genom origo.
Olika utfall beroende på y och x som båda kan vara positiva eller negativa, vi har inte fått tillräckligt med information.

Svar: D

Har du en fråga du vill ställa om Provpass 5 - KVA? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se