Uppgift 24

I en bakteriekultur ökar antalet bakterier med lika stor andel per tidsenhet. Hur många gånger fördubblas antalet bakterier i kulturen på 1 timme?

(1) Tillväxten av antalet bakterier är 3,5 procent i minuten.
(2) Efter 20 minuter har antalet bakterier fördubblats.

Tillräcklig information för lösningen erhålls

  1. i (1) men ej i (2)
  2. i (2) men ej i (1)
  3. i (1) tillsammans med (2)
  4. i (1) och (2) var för sig
  5. ej genom de båda påståendena

Lösning

Vi vet att bakteriernas tillväxt följer en exponentialfunktion på formen

$$\\N=N_{0}\cdot 2^{kt}\\$$

1. Försök lösa uppgiften med informationen från uppgiftslydelsen och påståendet (1).

Vi antar att t = 1min

En tillväxt med 3,5 procent/min ger följande

$$\\N(1)=N_{0}\cdot 2^{k\cdot1}=1,035N_{0}\\$$

Vi kan härifrån lösa ut k och följaktligen få veta hur många gånger större N är än N0 vid t = 60.

$$\\N_{0}\cdot 2^{k\cdot1}=1,035N_{0}\\\\2^{k}=1,035\\lg\,(2^{k})=lg\,1,035\\k\cdot lg\,2=lg\,1,035\\\\k=\frac{lg\,1,035}{lg\,2}\approx 0,05\\$$

Och vi får då N(60) till

$$\\N(60)=N_{0}\cdot2^{0,5\cdot60}\approx 8N_{0}\\$$

Med andra ord så ökar antalet bakterier 8 gånger under den timmen eller fördubblas 4 gånger.

Slutsats: Tillräcklig information för lösning av uppgiften fås av enbart (1).

2. Försök lösa uppgiften med informationen från uppgiftslydelsen och påståendet (2).

Vi antar att t = 20min

Vi vet att antalet bakterier i kulturen fördubblas var 20 min vilket ger

$$\\N(1)=N_{0}\cdot 2^{k\cdot1}=2N_{0}\\$$

Härifrån kan vi precis som ovanför beräkna k och sedan ta reda på hur många gånger större än N är än N0 vid t = 3 (1 timme).

$$\\N_{0}\cdot 2^{k\cdot1}=2N_{0}\\\\2^{k}=2\\lg\;2^{k}=lg\;2\\k\cdot lg\;2=lg\;2\\k=1\\$$

Med andra ord så ökar antalet bakterier 8 gånger under den timmen eller fördubblas 4 gånger.

Slutsats: Tillräcklig information för lösning av uppgiften fås av enbart (2).

Då vi kan lösa uppgiften i båda (1) och (2) var för sig så får vi svaret till alternativ D.

Har du en fråga du vill ställa om Uppgift 24? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se