Uppgift 5

Vid beräkningen av \(\left ( \frac{4}{5} - \frac{3}{4} \right ) + \left ( \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \right ) \) erhålls ett bråk av positiva heltal. Vilket är den minsta nämnare som bråket kan ha?

A   6
B   20
C   60
D   72


För att komma fram till vilken den minsta möjliga nämnaren är, börjar vi med att förenkla det givna uttrycket. Det gör vi genom att vi använder oss av förlängning av bråktermerna så att vi kan addera och subtrahera bråken.

$$\left ( \frac{4}{5}-\frac{3}{4} \right )+\left ( \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \right )=$$

$$=\left ( \frac{4\cdot 4}{{\color{Blue} 4\cdot 5}}-\frac{5\cdot 3}{{\color{Blue} 5\cdot 4}} \right )+\left ( \frac{2\cdot 2}{{\color{Magenta} 2\cdot 3}}+\frac{3\cdot 1}{{\color{Magenta} 3\cdot 2}} \right )=$$

$$=\left ( \frac{16-15}{\color{Blue} {20}} \right )+\left ( \frac{4+3}{{\color{Magenta} 6}} \right )=$$

$$=\frac{1}{20}+\frac{7}{6}=$$

$$=\frac{6\cdot 1}{6\cdot 20}+\frac{20\cdot 7}{20\cdot 6}=$$

$$=\frac{6+140}{120}=\frac{146}{120}$$

Nu har vi lyckats förenkla det ursprungliga uttrycket långt, men vi är inte riktigt klara än. Det sista steget vi ska ta är att se om vi kan förkorta bråket.

Vi ser att såväl täljaren (146) som nämnaren (120) är jämna tal. Därför kan vi förkorta bråket med 2, vilket vi gör.

$$\frac{146}{120}=\frac{\frac{146}{{\color{Red} 2}}}{\frac{120}{{\color{Red} 2}}}=\frac{73}{60}$$

Om vi nu tittar på svarsalternativen, så ser vi att vi lyckats skriva det givna uttrycket med nämnaren 60, vilket motsvarar svarsalternativ C, så vi kan utesluta svarsalternativ D (72).

Vad som återstår nu är att se om vi kan förenkla bråket ytterligare, så att nämnaren blir antingen 6 (svarsalternativ A) eller 20 (svarsalternativ B).

Försöker vi att få nämnaren 6, så får vi förkorta bråket med 10. Det ger i så fall täljaren 7,3, men från uppgiftstexten vet vi att såväl täljaren som nämnaren ska vara positiva heltal. Därför kan inte bråket ha nämnaren 6 och vi kan därför utesluta svarsalternativ A.

Försöker vi att få nämnaren 20, så får vi förkorta bråket med 3. Men täljaren 73 är inte delbar med 3 (vilket vi snabbt kan komma fram till med hjälp av regeln för delbarhet med 3, eller genom att konstatera att de närliggande talen 72 och 75 är delbara med 3). Därför kan bråket inte ha nämnaren 20 och vi kan därmed utesluta svarsalternativ B.

Rätt svarsalternativ är därför C (60).

Har du en fråga du vill ställa om Uppgift 5? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!