Matematisk problemlösning
1. \(4x + 16 = 6x - 8\)
Vad är x?
- -12
- -4
- 4
- 12
$$4x+16=6x-8$$ $$16+8=6x-4x$$ $$24=2x$$ $$x=12$$
Svar: D
2. Ett rätblock är 2 meter långt, 2 decimeter brett och 2 millimeter högt.
Hur stor är volymen av rätblocket?
- \(8 \;cm^3\)
- \(80 \;cm^3\)
- \(800 \;cm^3\)
- \(8\,000 \;cm^3\)
Eftersom svarsalternativen är i \(cm^3\) så omvandlar vi sidorna till cm: $$200\; cm \times 20\; cm \times 0,2\; cm = 800\; cm^3$$
Svar: C
3. \(3^{2x}=27\)
Vad är x?
- \(\frac{2}{3}\)
- \(\frac{3}{2}\)
- \(2\)
- \(3\)
Vi noterar att 27 kan skrivas som \(3^3\). Detta ger att: \(3^{2x}=3^3\). Basen är samma (=3) så exponenterna måste vara lika: $$2x=3$$ $$x=\frac{3}{2}$$
Svar: B
4. Arne är 7 år äldre än Bertil. Tillsammans är Arne och Bertil 33 år. Arnes ålder är \(x\) år och Bertils ålder är \(y\) år. Vad är produkten \(xy\)?
- 228
- 231
- 260
- 266
Första påståendet: \(x=y+7\)
Andra påståendet: \(x+y=33\)
Det ger ett ekvationssystem. Vi kan skriva om den andra ekvationen som \(y=33-x\) och sätta in i den första: $$x=(33-x)+7$$ $$x=33-x+7$$ $$2x=40$$ $$x=20$$
Den första ekvationen ger: $$x=y+7$$ $$20=y+7$$ $$y=13$$
Produkten \(xy\) är $$xy= 20\cdot 13=260$$
Svar: C
5. Vad är \(\normalsize{ \frac{ \frac{6}{25} }{ \frac{36}{5} } }\)?
- \(\frac{1}{30}\)
- \(\frac{5}{6}\)
- \(\frac{125}{216}\)
- \(\frac{216}{125}\)
Vi vänder på nämnaren och multiplicerar: $$\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{36}$$ Vi förkortar 25 med 5 och 36 med 6 $$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{30}$$
Svar: A
6. \(x\) är ett heltal. Vilket svarsalternativ är ett möjligt värde på \(x(x + 1)\)?
- 37
- 42
- 54
- 81
Eftersom något av antingen \(x\) eller (\(x+1\)) är ett jämnt tal, måste produkten vara jämn. Då återstår 42 resp. 54. 6:ans tabell ger oss \(6\times 7=42\), där 6 och 7 är på varandra följande tal.
Svar: B
7. \(a ≠ 0\)
För vilket svarsalternativ gäller med säkerhet att f(a) = a?
- \(f(x)=\frac{x}{a}+a\)
- \(f(x)=2x-a\)
- \(f(x)=ax\)
- \(f(x)=-ax+a^3\)
Sätt in a istället för x i de olika förslagen.
A: \(f(x)=\frac{x}{a}+a\), ger \(f(a)=\frac{a}{a}+a=1+a\), stämmer inte
B: \(f(x)=2x-a\), ger \(f(a)=2a-a=a\), stämmer
Svar: B
8. Vad är \(\normalsize{ \frac{2,1\cdot 10^6}{3\cdot 10^4} }\)?
- 7
- 70
- 700
- 7 000
$$\frac{2,1\cdot 10^6}{3\cdot 10^4}= \frac{21\cdot 10^5}{3\cdot 10^4}=7\times 10 = 70$$
Svar: B
9. Linjen L har ekvationen \(y + 2x - 2 = 0\). Vilket svarsalternativ visar linjen L?
\(y + 2x - 2 = 0\) ger \(y=-2x+2\)
Lutningen är \(-2\) (går man ett steg åt höger från linjen så går man två steg ner för att träffa linjen igen) och skärningen på y-axeln går vid \(y=2\) (då är \(x=0\))
Svar: C
10. \(b ≠ 0\)
Vilket svarsalternativ är lika med uttrycket \(\frac{a+b}{b} + \frac{b-a}{b}\)?
- 0
- 1
- 2
- \(\frac{2a}{b}\)
Gemensamt bråkstreck ger $$\frac{a+b+b-a}{b}=\frac{2b}{b}=2$$
Svar: C
11. Mätserien 3, 5, 6, 6, 8 utökas med ett slumpmässigt valt ensiffrigt positivt heltal. Hur stor är sannolikheten att mätseriens median blir större?
- 0
- \(\frac{1}{3}\)
- \(\frac{1}{2}\)
- 1
Median för serien 3, 5, 6, 6, 8 är 6, dvs. det vill säga det mittersta talet. Om en slumpmässig siffra är mindre än 6 (läggs på vänster sida) kommer medianen att bli lägre, eftersom medianen blir \(\frac{5+6}{2}=5,5\). Om den slumpmässiga siffran är lika med eller större än 6 (läggs på höger sida) kommer medianen att förbli densamma, eftersom medianen blir \(\frac{6+6}{2}=6\). Detta innebär att sannolikheten att medianen för serien blir större är noll.
Svar: A
12.
De tre cirklarna har radien 1 cm. Cirklarnas medelpunkter ligger i triangelns hörn. Hur stor är den sammanlagda arean av de skuggade områdena?
- \(2 \pi\; cm^2\)
- \(2,25 \pi\; cm^2\)
- \(2,5 \pi\; cm^2\)
- \(2,75 \pi\; cm^2\)
Vinkelsumman av de tre cirkelsektorerna är 180 grader. Det innebär att vi tagit bort \(\frac{180}{360}=\frac{1}{2}\) cirkels area. Då har vi 2,5 areor kvar.
Varje cirkels area är \(\pi \cdot r^2=\pi \cdot 1^2=\pi\), vilket ger totalt \(2,5\pi\).
Svar: C