Matematisk problemlösning
1. En rätvinklig triangel och en kvadrat är placerade enligt figuren. Hur lång är sträckan x?
- 6 cm
- 7 cm
- 8 cm
- 9 cm
I figuren är kvadratens area \(16 \;cm^2\), alltså är sidan roten ur 16, dvs 4 cm.
Triangelns area är \(6 cm^2\). Ytan på en triangel är \(\frac{b\cdot h}{2}\). Basen b är 4 cm (se kvadraten). Vi får \(\frac{4\cdot h}{2}=6\). Då måste h vara = 3.
Totalt blir sträckan \(x=4+3=7\)
Svar: B
2. x och y uppfyller sambandet 2x + 3xy - 4y = 10. Vilket värde har x om y = -2?
- \(-18\)
- \(-\frac{9}{2}\)
- \(-2\)
- \(-\frac{1}{2}\)
Då \(y=-2\) får vi ekvationen \(2x+3x\cdot (-2)-4\cdot (-2)=10\)
Vi multiplicerar och får \(2x-6x+8=10\)
Förenkling ger \(-4x=2\), dvs. \(x=-\frac{1}{2}\)
Svar: D
3. \(f(x) = \frac{x}{2}-1\)
Vilket svarsalternativ visar grafen till funktionen f?
Då \(x=0\) är \(y=-1\), då har vi en punkt i koordinatsystemet som innebär att linjen skär y-axeln då \(y=-1\).
Räta linjens ekvation är \(y=kx+m\). k är riktningskoefficient, dvs. lutningen på linjen. I detta fall är \(k=\frac{1}{2}\), vilket innebär att för varje steg i x-riktning stiger y med \(\frac{1}{2}\).
Svar: D
4. 60 % av x är 39. Vad är x?
- 60
- 65
- 72
- 78
$$60\% \cdot x = 0,6x = 39$$ $$x= \frac{39}{0,6} = 65$$
Svar: B
5. Vilket svarsalternativ motsvarar a(b + c) - b(a + c) + c(b - a)?
- 0
- ab - bc - ac
- 2(ab + ac + bc)
- 2c + bc - a
\begin{align*}
a(b + c) - b(a + c) + c(b - a)&=\\
=ab + ac - ba - bc + cb - ca&=\\
=ab + ac - ab - bc + bc - ac &= 0
\end{align*}
Svar: A
6. Hur stor är vinkeln x?
- \(25^\circ\)
- \(32^\circ\)
- \(57^\circ\)
- \(58^\circ\)
Kalla den okända vinkeln y som är längst ned till vänster $$90^\circ+ 65^\circ + y = 180^\circ$$ då vinkelsumman i en triangel \(= 180^\circ\)
$$y = 180^\circ-90^\circ-65^\circ = 25^\circ$$ $$25^\circ + 123^\circ + x = 180^\circ$$ $$x = 180^\circ - 25^\circ - 123^\circ = 32^\circ$$
Svar: B
7. a > 0
b < 0
Vilken av punkterna i koordinatsystemet nedan kan ha koordinaterna (\(a^2b, ab^3\))?
- P
- Q
- R
- S
$$x=a^2\cdot b \Rightarrow a^2>0, \;\;\;b<0 \Rightarrow x<0$$ $$y=a\cdot b^3 \Rightarrow a>0, \;\;\;b^3<0 \Rightarrow y<0$$ (3:e kvadranten)
Svar: C
8. En stängd låda med innermåtten 50 cm x 54 cm x 72 cm innehåller klossar med måtten 5 cm x 6 cm x 9 cm. Hur många klossar kan det som mest finnas i lådan?
- 270
- 500
- 650
- 720
Lådans volym: \(194\,400 \;cm^3\)
Klossarnas volym: \(270 \;cm^3\)
$$\text{Antal klossar}= \frac{194\,400}{270}=720$$ Svar: D
9. \(xy \neq 0\)
Vilket svarsalternativ motsvarar \(\frac{2xy(3xy+15y)}{6xy^2}\)?
- \(x+y\)
- \(3x+15\)
- \(x+15y\)
- \(\frac{2x^2y+5}{2xy}\)
Bryt ut 3y ur parentesen \(\Rightarrow\) $$\frac{6x\cdot y^2\cdot (x+5)}{6x\cdot y^2}=(x+5)$$ Svar: A
10. För heltalen x, y och z gäller att xyz = 12 och att 0 < x < y < z. Vilket är det största möjliga värdet på z - x?
- 1
- 3
- 5
- 6
För att \(z-x\) skall bli så stort som möjligt behöver \(x\) vara så lite som möjligt och \(z\) så stor som möjligt.
Minsta värdet \(x\) kan vara om (\(0
Vilket ger att \(yz=12\). Möjliga tal med produkten 12 är \(2\cdot 6\) och \(3\cdot 4\).
Ger att \(z=6\). Då blir \(z-x=5\)
Svar: C
11. Laila har sex enfärgade kulor och tre lådor: A, B och C. I låda A finns det två röda och en vit kula. I låda B finns det en röd och två vita kulor. Låda C är tom. Laila plockar slumpmässigt en kula ur låda A och en kula ur låda B och lägger dem i låda C.
Hur stor är då sannolikheten att alla tre lådorna innehåller en röd och en vit kula?
- \(\frac{1}{3}\)
- \(\frac{2}{3}\)
- \(\frac{1}{9}\)
- \(\frac{4}{9}\)
För att låda A skall innehålla en röd och en vit efter dragningen krävs att man drar en röd. Sannolikheten för detta är \(\frac{2}{3}\). För att låda B skall innehålla en röd och en vit efter dragningen krävs att man drar en vit. Sannolikheten för detta är \(\frac{2}{3}\). Den kombinerade sannolikheten blir då \(\frac{2}{3}\) gånger \(\frac{2}{3}\) dvs \(\frac{4}{9}\). Efter att man dragit en röd från låda A och en vit från låda B och lagt dem i låda C kommer låda C att innehålla en röd och en vit.
Svar: D
12. Vilket svarsalternativ är lika med \(2(2^5+2^5)\)
- \(2^6\)
- \(2^7\)
- \(2^{11}\)
- \(2^{12}\)
$$2(2^5+2^5) = 2(2 \cdot 2^5)=2(2^6)=2^7$$ Svar: B