Matematisk problemlösning

1.     \(x + \frac{1}{4} = \frac{1}{8}\)

Vilket värde har x?

  1. \(-\frac{3}{8}\)
  2. \(-\frac{1}{8}\)
  3. \(\frac{1}{4}\)
  4.  \(\frac{1}{2}\)

Dra ifrån \(\frac{1}{4}\) på båda sidor ⇒ $$x = \frac{1}{8} - \frac{1}{4}$$ Minsta gemensamma nämnare i H.L. är 8 ⇒ $$x = \frac{1-2}{8} = -\frac{1}{8}$$ Svar: B

 2.

  provpass 1 - uppgift 2 - vinkel v

Linjerna \(L_1\) och \(L_2\) är parallella. Hur stor är vinkeln \(v\)?

  1. \(102^{\circ}\)
  2. \(115^{\circ}\)
  3. \(139^{\circ}\)
  4. \(143^{\circ}\)

Kalla komplementvinkeln till \(v\) för \(y\) och komplementvinkeln till \(102^{\circ}\) för \(x\) $$x=180-102=78$$ $$37+x+y=180$$ $$=> y=180-37-78=65$$ $$v=180-y=180-65=115$$ Svar: B

 3.    Vilket svarsalternativ motsvarar uttrycket (3x + y)(x - y)?

  1. \(3x^2 - 2xy - y^2\)
  2. \(3x^2 + xy - y^2\)
  3. \(3x^2 - y^2\)
  4. \(3x^2 + 2xy - y^2\)

Multiplicera parenteserna med varandra $$=> 3x^2 - 3xy+xy-y^2 = 3x^2-2xy-y^2$$ Svar: A

4. \begin{align*}
f(x)&=4x+1\\
g(x)&=2\cdot f(x)-1
\end{align*} Vad är g(3)?

  1. 5
  2. 13
  3. 24
  4. 25

Sätt in \(f(x)\) i \(g(x)\) $$=> g(x)=2(4x+1)-1$$ sätt \(x=3\) $$=> g(3)=2(4\cdot 3+1)-1=25$$ Alternativt räknar man ut \(f(3)=4\cdot 3+1=13\) och sätter in det i \(g(x)\).

Svar: D

5.

provpass 1 - uppgift 5 - skuggade området i en rektangel

Fyrhörningen ABCD är en rektangel. Hur stor är arean av det skuggade området?

  1. 4 cm2
  2. 4,5 cm2
  3. 5 cm2
  4. 5,5 cm2

  1. Använd formeln för parallelltrapets \(A=\frac{h(1+AB)}{2}\) $$⇒ \frac{2(1+4)}{2}=5$$

  2. Har man glömt formeln.
    Antag basen i de vita trianglarna. Vid D \(=x\) och vid C \(=(4-1-x)=3-x\).
    Totala ytan av de vita trianglarna $$= \frac{2\cdot x}{2}+\frac{2\cdot (3-x)}{2} = x+3-x=3$$
    Oavsett värdet på \(x\) är ytan av de vita trianglarna = 3
    Hela rektangeln har ytan \(2\cdot 4 = 8\) ⇒ att den grå parallelltrapetsen har ytan \(= 8-3 = 5\)
    Svar: C

6. Vad är \(45\%\) av \(\frac{2}{9}\)?

  1. \(\frac{1}{9}\)
  2. \(\frac{1}{10}\)
  3. \(\frac{1}{11}\)
  4. \(\frac{1}{12}\)

Skriv \(45\%\) som decimalform \(= 0,45\) $$=> 0,45 \cdot \frac{2}{9}=\frac{45}{100}\cdot \frac{2}{9}=\frac{90}{900}=\frac{1}{10}$$ Svar: B

7. Hur lång tid tar det att färdas 18 km med hastigheten 20 m/s?

  1. 15 minuter
  2. 18 minuter
  3. 36 minuter
  4. 54 minuter

Om man vet att \(1\,m/s=3,6\; km/h\) får man direkt att hastigheten är $$20\cdot 3,6\; km/h=72\; km/h$$ 18 km är ¼ av 72 km och man hinner då 18 km på ¼ timme.

Om man inte kan omvandla m/s till km/h får man räkna ut det eftersom $$1\;m/s=60\;m/min=3\,600\;m/h=3,6\;km/h$$ Svar: A

8. För linjen L med ekvationen \(y = kx + m\) gäller att \(k\) är negativt. Linjen L skär y-axeln
i punkten (0, -4). Tillsammans med x-axeln och y-axeln avgränsar L en triangel med
arean 2 areaenheter.
Vilket svarsalternativ anger skärningspunkten mellan linjen L och x-axeln?

Koordinatsystemet kan användas för att lösa uppgiften.

provpass 1 - uppgift 8 - skärningspunkt

  1. \(\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\)
  2. (\(-1, 0\))
  3. (\(-2, 0\))
  4. (\(-4, 0\))

Eftersom \(k\) är negativt avtar \(y\) när \(x\) ökar. Triangeln skär då x-axeln för ett negativt \(x\), säg \(x=-a\), och höjden på triangeln är 4. Arean blir då \(a \cdot \frac{4}{2}=2a\) som ska vara 2, vilket ger \(a=1\) och \(x=-1\).

Svar: B

9. \begin{align*}
a&≠0\\
b&≠0
\end{align*} Vilket svarsalternativ motsvarar uttrycket \(\frac{b}{a}+\frac{1}{b}\)?

  1. \(\frac{b+1}{ab}\)
  2. \(\frac{b+1}{b+a}\)
  3. \(\frac{1}{a}\)
  4. \(\frac{b^2}{ab}\)

Vi gör liknämnigt genom att förlänga första termen med \(b\) och andra med \(a\). Vi får då $$\frac{b}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b^2}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{b^2+a}{ab}$$ Svar: D

10. Vilket av följande svarsalternativ är närmast värdet av \(\sqrt{\frac{44\cdot 4\;100}{200}}\)?

  1. 10
  2. 20
  3. 30
  4. 40

Vi förenklar $$\sqrt{\frac{44\cdot 4\;100}{200}}=\sqrt{22\cdot 41}=\sqrt{22\cdot 41}=\sqrt{902}≈ 30$$ Så 30 är väldigt nära!

Svar: C

11. Vera bildar ett tvåsiffrigt tal \(x\) genom att göra två slumpmässiga kast med en vanlig sexsidig tärning. Resultatet av det första kastet blir tiotalssiffran i \(x\), och resultatet av det andra kastet blir entalssiffran i \(x\). Hur stor är sannolikheten att x är större än 40?

  1. \(\frac{1}{4}\)
  2. \(\frac{1}{3}\)
  3. \(\frac{1}{2}\)
  4. \(\frac{2}{3}\)

En slumpmässigt kast ger 6 möjliga utfall (1-6) ⇒ två slumpmässiga kast ger (\(6\cdot 6=36\)) möjliga utfall totalt.

För att \(x\) ska vara större än 40 måste tiotalssiffran (det första kastet) vara 4, 5 eller 6. För varje av dessa tre tiotalssiffror finns det 6 möjliga utfall för entalssiffran (det andra kastet), eftersom tärningen har 6 sidor (1, 2, 3, 4, 5 eller 6).

oavsett vad det andra tärningskastet blir (ett eller större). Tre olika utfall av de 6 möjliga. Det händer med en sannolikhet på 50% (1/2). Så de möjliga utfallen för att bygga ett tvåsiffrigt tal större än 40 är:

  • Antingen 4 med (1, 2, 3, 4, 5 eller 6) ⇒ 6 giltiga utfall
  • eller 5 med (1, 2, 3, 4, 5 eller 6) ⇒ 6 giltiga utfall
  • eller 6 med (1, 2, 3, 4, 5 eller 6) ⇒ 6 giltiga utfall

$$6 + 6 + 6 = 18 \,\text{giltiga utfall}$$ Sannolikheten för att få ett tvåsiffrigt tal större än 40 är $$\frac{\text{giltiga utfall}}{\text{Det totala antalet möjliga utfall}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$$ Svar: C

12. Vad är \(2\cdot 3^{-1}+3\cdot 3^{-2}\)

  1. \(5\cdot 3^{-1}\)
  2. \(\frac{11}{54}\)
  3. \(5\cdot 3^{-3}\)
  4. 1

\(2\cdot 3^{-1}=\frac{2}{3}\) och \(3\cdot 3^{-2}=1\cdot 3^{-1}=\frac{1}{3}\). Lägger man ihop får man 1.

Ett annat alternativ är att faktorisera $$2\cdot 3^{-1}+3\cdot 3^{-2} = 3^{-1}(2+3\cdot 3^{-1}) = 3(2+1) = 3^{-1}\cdot 3 = 1$$ Svar: D

Har du en fråga du vill ställa om Provpass 1 - XYZ? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se