Matematisk problemlösning
1. En vara kostar 250 kronor. Hur mycket kostar varan om priset höjs med 12 procent?
A 262 kronor
B 268 kronor
C 274 kronor
D 280 kronor
Uteslutningsmetoden går att använda genom att bara undersöka en ökning med 10%, alltså 250 + 25 = 275, som är större än alla andra alternativ vilket medför att rätt svar måste vara 280. Alternativt kan man beräkna 12% av 250 genom att nyttja faktumet att 12% av 250 är samma som 250% av 12 = 2.5 · 12 = 2.5·2·6 = 5·6 = 30.
Svar: D
2. Vad är medelvärdet av de fem minsta heltalen som är större än 10?
A 12
B 12,5
C 13
D 13,5
Fem minsta heltal > 10 = 11,12,13,14,15. Medelvärdet blir = \(\frac{(11+12+13+14+15)}{5} = \frac{65}{5} = 13\)
Alternativt tar vi medelvärdet av 11 och 15, som blir 26/2 = 13 eftersom de fem heltalen är jämt fördelade mellan 11 och 15.
Svar: C
3. \(\frac{x}{8} = \frac{1}{3}\) Vilket värde har x?
A \(\frac{1}{24}\)
B \(\frac{3}{8}\)
C \(\frac{8}{3}\)
D \(24\)
\(\frac{x}{8} = \frac{1}{3}\) vi multiplicerar båda sidor med 8 och får
\(8\cdot \frac{x}{8} = 8\cdot \frac{1}{3}\)
\(x = \frac{8\cdot 1}{3}\)
\(x = \frac{8}{3}\)
Svar: C
4. \(f(x) = 7x^2 - 7\)
För vilket av följande värden på \(x\) gäller att \(f(x) = 7\)?
A \(1\)
B \(\sqrt{2}\)
C \(2\)
D \(\sqrt{7}\)
Vi ställer upp ekvationen
\(f(x) = 7x^2-7 = 7\)
\(7x^2 =14 \)
\( x^2 = 14/7\)
\(\sqrt{x^2} =\pm \sqrt{2}\).
Svaret är B eftersom det inte finns någon negativ rot som alternativ
Svar: B
5. För rektangeln ABCD gäller att AB = 5 cm och BC = 7 cm. Hur lång är sträckan PQ?
A \(\sqrt{26}\) cm
B \(\sqrt{29}\) cm
C \(\sqrt{34}\) cm
D \(\sqrt{45}\) cm
Sträckan PQ är den kortaste sträckan som går från punkten P till Q, dvs en rät linje. För att bestämma den här sträckan kan man använda pythagoras sats, där ena kateten är AB = 5cm och andra kateten är DP - CQ.
CQ = 7-3 = 4.
DP - CQ = 6 - 4 = 2
Pythagoras sats ger att
PQ \(= \sqrt{5^2+2^2} = \sqrt{25+4}= \sqrt{29}\)
Svar: B
6. \(3x \cdot \sqrt{2} = \sqrt{72}\)
Vad är x?
A 2
B 4
C 6
D 12
Vi delar båda sidorna med \(\sqrt{2}\)
\(\frac{3x\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}\)
\(3x = \sqrt{\frac{72}{2}} \)
\(3x = \sqrt{36}\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
Svar: A
7. I början av ett experiment består en population av \(n\) bakterier. Efter en vecka har
populationen fördubblats. Populationen fortsätter sedan att fördubblas varje vecka.
Hur många bakterier finns det i populationen efter tio veckor?
A \(2 \cdot n^{10}\)
B \(2 \cdot 10^n\)
C \(n \cdot 2^{10}\)
D \(n \cdot 10^2\)
Antalet bakterier vid start = \(n\).
Efter 1 vecka är antalet bakterier \(n \cdot 2^1\).
Efter 2 veckor är antalet \(n \cdot 2 \cdot 2 = n \cdot 2^2\)
Efter 3 veckor \(n \cdot 2^3\) och så
Antalet efter 10 veckor är då \(n \cdot 2^{10}\).
Svar: C
8. 
Vilket svarsalternativ visar grafen till funktionen h, där h(x) = f(x) + g(x)?
Vi använder graferna i för att bestämma f(x) och g(x) för x = 0 och x = 1 och beräkna h(x), sen letar vi efter vilken linje som visar h(x)
vi sätter in x = 0 i f(0) = -1, g(0) = -1 => h(0) = (-1) + (-1) = -2
samma sak för x = 1 => f(1) = 0, g(1) = -3 => h(1) = 0 + (-3) = -3
Punkterna stämmer med figur D
Svar: D
9. \(\frac{\frac{2}{7}}{\frac{4}{9}-\frac{3}{7}}\)
A \(\frac{1}{7}\)
B \(\frac{4}{7}\)
C \(14\)
D \(18\)
Eftersom nämnarna i bråken är 7 eller 9, blir minsta gemensamma nämnare \(7\cdot 9 = 63\)
\(\frac{\frac{18}{63}}{\frac{28}{63}-\frac{27}{63}} = \frac{\frac{18}{63}}{\frac{1}{63}} \)
Nu flippar vi undre bråket och multiplicerar istället,
\(\frac{18}{63} \cdot \frac{63}{1} = \frac{18\cdot 63}{63 \cdot 1} = \frac{18}{1} = 18\)
Svar: D
10. En figur är konstruerad av sträckor och cirkelbågar. Cirkelbågarna är kvartscirklar. Vilken omkrets har figuren?
A \(( 3 + \pi)2x\)
B \((4+2\pi)x\)
C \(\left(12-\frac{\pi}{2}\right)x\)
D \((9-\pi)x^2\)
De 4 räta delarna av figuren är totalt \(4 \cdot x\) långa. De fyra krökta delarna bildar tilsammans en hel cirkel med radien \(x\). Total omkrets \(= 4 \cdot x + 2 \cdot x \cdot \pi = (4 + 2 \pi) x\)
Svar: B.
11. Vilket svarsalternativ är lika med \(\left(2,5 \cdot 10^{-11}\right)\cdot \left(4 \cdot 10^{-18}\right) \)?
A \(10^{-28}\)
B \(10^{28}\)
C \(10^{-30}\)
D \(10^{30}\)
\(2,5 \cdot 10^{-11} \cdot 4 \cdot 10^{-18} = 2,5 \cdot 4 \cdot 10 ^{(-11) + (-18)} =\)
\(= 1 \cdot 10^{ 1 + (-11) + (-18)} = 10^{- 28} \)
Svar: A
12. \(xy \neq 1\)
Vilket svarsalternativ motsvarar uttrycket \(\frac{x^2y^2+xy}{xy+1}\)
A \(xy\)
B \(xy+1\)
C \(x^2y^2\)
D \(x^2y^2+1\)
Vi bryter ut \(xy\) ur täljaren och förkorta:
\(\frac{xy(xy + 1)}{xy + 1} = xy \)
Svar: A.