Kvantitativa jämförelser

13. Erik, Johanna och Mikael fyller år på samma dag. När Erik var 14 år var Johanna 7 år. När Johanna var 10 år var Mikael 15 år.

Kvantitet I: Eriks ålder när Mikael var 18 år
Kvantitet II: 20 år

  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Erik var 14 när Johanna var 7, deras åldersskillnad är 7 år, den ändras aldrig.

När Johanna var 10, dvs 3 år senare, så är Mikael 15 år, och Erik är 17 år eftersom han är 7 år äldre än Johanna.

Kvantitet I: Mikael är 18 år, då kan vi öka åldrarna med 3 år till, Erik är då 20 år, vilket är detsamma som Kvantitet II.

Svar: C

14. \(0<a<1\)

  1. Kvantitet I: \(\frac{1}{a}\)

    Kvantitet II: \(a\)

  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Eftersom a är ett positivt tal som är mindre än 1, kommer kvoten i Kvantitet I bli större än 1 eftersom “a får plats i 1” mer än 1 gång. Därför är Kvantitet I > II eftersom a är strikt mindre än 1.

Exempelvis om a = 0.5 är det Kvantitet II och Kvantitet I blir 1/0.5 = 2

Svar: A

15.

  1. Kvantitet I: \(\frac{5}{4}-\frac{4}{5}\)
    Kvantitet II: \(\frac{4}{3}-\frac{3}{4}\)
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

I: Vi förlänger till minsta gemensamma nämnare \(4\cdot 5= 20\) och får
\(\frac{25}{20}-\frac{16}{20} = \frac{9}{20}\)
II: förlänger till minsta gemensamma nämnare \(3\cdot 4 = 12\) och får
\(\frac{16}{12}-\frac{9}{12} = \frac{7}{12} \)

Vi ska nu jämföra \(\frac{9}{20}\) och \(\frac{7}{12}\), vi kan se att \(\frac{9}{20}\) under hälften, medan \(\frac{7}{12}\) är mer än hälften. Därför är \(\frac{7}{12}\) större än \(\frac{9}{20}\), Kvantitet II > I.

Svar: B

16. \(L_1: y= a_1+2\) och \(L_2 = a_2+2 \)

Kvantitet I: \(a_1\)
Kvantitet II: \(a_2\)

  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Kvantiteterna som ska jämföras är lutningen på de två räta linjerna i grafen. Lutningen på linje \(L_2\) är brantare eller högre, därför ökar den snabbare och då är \(a_2>a_1\)

Svar: B

17. \(0 < x < y < 1\)

  1. Kvantitet I: \(xy\)
  2. Kvantitet II: \(y\)
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

När vi multiplicerar ett (positivt) tal med ett (positivt) tal som är mindre än 1 blir produkten mindre än det ursprungliga talet.

Som exempel kan vi prova med \(x = 0,7\) och \( y = 0,8\). Produkten \(xy\) är då \(0,72\), vilket är mindre än \(y = 0,8\).

Svar: B

18. Fyrhörningen ABCE är en rektangel. Arean av triangeln ADE är x cm2, arean av triangeln BCD är y cm2 och arean av triangeln ABD är z cm2

  1. Kvantitet I: \(\frac{x+y}{z}\)
  2. Kvantitet II: \(1\)
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

 

Vi kan dra en lodrät linje från D till motsvarande punkt på sidan AB, så kan vi se att triangeln med arean z kan delas upp till trianglarna med area x respektive y.

Alternativt kan vi räkna på det så här, vi kallar sidorna AB = a, CB = b, ED = c och DC = d. Sida AB har samma längd som EC, dvs c + d = a.

Då är areorna av trianglarna z = ab/2, y = db/2 och x = cb/2.
Kvantitet I: (x+y)/z = (db/2 + cb/2)/(ab/2) = (db + cb)/ab = (d + c)/a = a/a = 1.

Svar: C

19. x > 0
y = 5x + 3
z = 2y - 10x

Kvantitet I: x
Kvantitet II: z

  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Vi använder ekvationen y = 5x + 3 [1] och z = 2y -10x [2]
Vi ersätter y värdet från ekvation [1] i ekvation [2]:
z = 2y – 10x = 2 ( 5x + 3 ) -10x = 10x + 6 -10x = 6, då är z = 6
Oavsett värdet på x i ekvation [1], blir alltid z = 6. Då är informationen otillräcklig för att avgöra förhållandet mellan z och x.

Svar: D

20.  

Kvantitet I: Medianen av tio tal med medelvärdet 0
Kvantitet II: Medianen av tio tal med medelvärdet 100

  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Exempel 1:
I: -9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 har medelvärde 0 och median 1.
II: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1000 har medelvärde 100 och median 0
Då är I>II
Exempel 2:
I: -1 -1 0 0 0 0 0 0 1 1 har medelvärde 0 och median 0
II: 90 90 100 100 100 100 100 100 110 110 har medelvärde 100 och median 100
Då är II>I

Svar: D

21. Förhållandet mellan vinklarna i en triangel är 1:2:4.

Kvantitet I: Triangelns största vinkel
Kvantitet II: 90°

  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Summan av alla triangelns vinklar är alltid 180. Med det givna förhållandet 1:2:4, kan vi skriva:
\(A + B + C = 180\)
Med \(A, B, C \) som symboliserar vinklarna.
\(A + 2A + 4A = 180\) givet förhållandet.
\(7A = 180\)
\(A = \frac {2·90}{7} = \frac{2}{7}·90\)
Då blir triangelns största vinkel \(4A = 4·\frac{2}{7}·90= \frac{8}{7}·90 \) som är större än 90 eftersom \(\frac{8}{7} > 1\).

Svar: A

22.

  1. Kvantitet I: \( \left(1 + \frac{1}{2} \right) \left(1 – \frac{1}{3} \right) \left(1 + \frac{1}{4} \right) \left(1 – \frac{1}{5} \right) \)
    Kvantitet II: \(1\)

  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Uttrycket
\(\left(1 + \frac{1}{2} \right)\left( 1 – \frac{1}{3} \right)\left(1 + \frac{1}{4} \right)\left(1 – \frac{1}{5} \right)\)
Kan skrivas som:
\( \frac{2 + 1}{2} \cdot \frac{ 3 – 1}{3} \cdot \frac{ 4 + 1}{ 4 } \cdot \frac{ 5 – 1}{ 5} =\)
\( = \frac{3}{ 2} \cdot \frac{2}{ 3} \cdot \frac{5}{ 4} \cdot \frac{4}{ 5} = 1\)
Vilket innebär att kvantitet I och II är lika

Svar:C

Har du en fråga du vill ställa om Provpass 4 - KVA? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se