Kvantitativa jämförelser

\[x>4 \Leftrightarrow \frac{x}{4} > 1 \Leftrightarrow \frac{1}{4} > \frac{1}{x}\] Utgå ifrån olikheten, dela båda sidorna med 4, sedan med x. I vänsterledet har vi precis kvantitet II och i högerledet kvantitet I. Således är II större än I.

Svar: B

Längden av hypotenusan ges a Pythagoras sats, nämligen: \(a²+b² = c²\)
Där \(a\) och \(b\) är kateterna och \(c\) är hypotenusan. Enligt figuren ges:
\(a=4\) och \(b=2\)
Därför får vi: \[4^2+2^2= c^2 \Leftrightarrow 16+4=c^2 \Leftrightarrow 20=c^2 \Leftrightarrow \sqrt{20}=c\]
Märk väl att den negativa roten är utesluten ty hypotenusan är en positiv längd. Vidare vet vi att \(5=\sqrt{25} > \sqrt{20}= c\), således är hypotenusan mindre än 5.

Svar: B

Kvantitet I innefattar en mängd tal mellan 66666 och 77777.
Kvantitet II innefattar en mängd tal mellan 66666 och 88888.

Kvantitet I och kvantitet II är lika om exempelvis kvantitet I är 66666 och kvantitet II är 66666.

Kvantitet I är större än kvantitet II om exempelvis kvantitet I är 77777 och kvantitet II är 66666.

Kvantitet II är större än kvantitet I om exempelvis kvantitet I är 66666 och kvantitet II är 88888.

Eftersom alla 3 fall är möjliga med den givna informationen kan vi inte dra någon slutsats annan än att informationen är otillräcklig.

Svar: D

Vi vet att \(x^2=4\), därmed är \(x=\pm 2\). Vi kan därmed testa de två rötterna på kvantitet I genom: \[(-2)^{2+2}=(-2)^{4}=16\] \[(-2)^{-2+2}=(-2)^{0}=1\]

Samma tillvägagångssätt för kvantitet II ger: \[(-2)^{2+3}=(-2)^{5}=-32\] \[(-2)^{-2+3}=(-2)^{1}=-2\] Vi ser att i båda fallen är kvantitet I större än kvantitet II alltså stämmer A.

Svar: A

Vi börjar med att skriva om kvantiteterna i matematisk form:
Kvantitet I: \[\frac{1}{2}(x+y) = =\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\] Kvantitet II: \[\frac{1}{2}\left(2x+\frac{y}{2}\right)=x+\frac{y}{4}\] Beräkna differensen Kvantitet I − Kvantitet II: \[\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)-\left(x+\frac{y}{4}\right)\] Förenkla genom att samla termer: \[\frac{x}{2}-x+\frac{y}{2}-\frac{y}{4}=-\frac{x}{2}+\frac{y}{4}\] För att Kvantitet I ska vara större än Kvantitet II krävs: \[-\frac{x}{2}+\frac{y}{4} > 0\] \[\frac{y}{4} > \frac{x}{2}\] \[y > 2x\]
Detta leder oss till slutsatsen att värdena är:
Om \(y > 2x\) → Kvantitet I är störst
Om \(y < 2x\) → Kvantitet II är störst
Om \(y = 2x\) → de är lika

Eftersom vi inte vet något om relationen mellan \(x\) och \(y\), kan vi inte avgöra vilket fall som gäller. Därmed är informationen otillräcklig för att besvara frågan.
Slutsats: Informationen är otillräcklig för att besvara frågan.
Svar: D

De enda möjliga jämna ensiffriga heltalen är: \(2, 4, 6, 8\)

De enda udda ensiffriga heltalen är: \(1, 3, 5, 7, 9\)

Börja med att beräkna den största möjliga summan för kvantitet II: \[5 + 7 + 9 = 21\] Därefter beräknar vi summan för kvantitet I: \[2 + 4 + 6 + 8 = 20\] Detta innebär att kvantitet I är större i sitt största fall, men mindre ifall vi väljer andra kombinationer av de udda heltalen. Vi kan därmed inte hävda att någon av kvantiteterna är större generellt och rätt svar är D.

Svar: D

Kvantitet I: \[\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{6}-\dfrac{3}{6} =-\dfrac{1}{6}\] Kvantitet II: \[\dfrac{1}{2}\cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{2\cdot3}=-\dfrac{1}{6}\] Kvantiteterna är lika.

Svar: C

Kvantitet I: Cirkelns omkrets är \(\pi\) gånger diametern. \[O=\pi \cdot D = \pi\cdot 2r = \pi\cdot 2\cdot 5=10\pi \approx 31,4\ \text{cm}\] Kvantitet II: Rektangelns omkrets är summan av alla sidor. \[O=10+5{,}5+10+5{,}5=31\ \text{cm}\]

Svar: A

Tolkning av olikheterna:
Både \(x\) och \(y\) är till beloppet mellan 0 och 1.
\(x\) är negativt och \(y\) är positivt.

En kvot mellan två tal där ett är positivt och ett är negativt, kommer att vara negativ (“plus och minus blir minus”).

Båda kvantiteter blir alltså negativa.

Det går inte att avgöra vilken kvot som är störst till beloppet. Det beror på om \(x\) är större än \(y\) eller tvärtom.

Svar: D

Tolkning av informationen:

Funktionen beskriver en rät linje
\(m>0\) innebär att linjen skär positiva y-axeln \(f(0) = m > 0\)
\(f(a)=0\) för något \(a>0\) innebär att linjen skär positiva x-axeln

En linje som skär positiva x-axeln och positiva y-axeln måste ha negativ lutning, dvs \(k<0\).

Alternativ lösning (ren algebra):

\(f(a) = 0\), för något \(a>0\), medför att:
\(ka+m = 0\), för något \(a>0\)

Lös ut k:
\(k = -m/a\)
Eftersom \(m>0\) och \(a>0\) så måste \(k<0\).

Svar: B