Kvantitativa jämförelser

13. Två vanliga sexsidiga tärningar kastas slumpmässigt en gång.

  1. Kvantitet I: Sannolikheten att summan av det tärningarna visar är 3, om den ena tärningen visar en tvåa
  2. Kvantitet II: Sannolikhet att summan av det tärningarna visar är 7, om den ena tärningen visar en tvåa
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

I båda kvantiteterna finns bara ett möjligt utfall för den andra tärningen:
i Kvantitet I måste den andra tärningen bli 1, och
i Kvantitet II måste den andra tärningen bli 5.
Därför blir sannolikheten lika stor för båda : ⅙.
Svar: C

14.

  1. Kvantitet I: \(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{27}\)
  2. Kvantitet II: \(3\)
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Vi börjar med Kvantitet I och förenklar den
\(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{27} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3\cdot 9} \)
Roten ur 9 är 3 och vi kan därför bryta ut detta
\(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3}= \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}\)
Nu kan vi lättare jämföra kvantiteterna
\(\sqrt{3} < 3 \)
alltså är II > I
Svar: B

15. Per kör vägen A–B–C–D utan paus. Mellan A och B är hans ­ medel­ hastighet 70 km/h. Mellan B och C är den 90 km/h och mellan C och D är den 70 km/h.

  1. Kvantitet I: Tiden det tar för Per att köra från A till D
  2. Kvantitet II: 2 timmar
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Vi börjar med att beräkna Kvantitet I genom att lägga ihop de olika tiderna det tar. För att få ut Pers tid delar vi sträckan på hastigheten för varje del
\(\frac{30}{70} + \frac{60}{90} + \frac{40}{70} = \frac{3}{7} + \frac{6}{9} + \frac{4}{7} = \frac{27+42+36}{7\cdot9} = \frac{105}{63} \text{ timmar } \)
Nu jämför vi med Kvantitet II
\(\frac{105}{63} < 2 \)
Alltså är II > I
Svar: B

16. För de positiva talen x och y gäller att 150 procent av x är lika med 50 procent av y.

  1. Kvantitet I: 3x
  2. Kvantitet II: y
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

150% av x kan skrivas som \(1,5x = \frac{3}{2}x \)
50% av y kan skrivas som \(0,5y = \frac{1}{2}y\)
Eftersom de är lika med kan vi skriva
\( \frac{3}{2}x = \frac{1}{2}y\)
Multiplicera båda leden med två ger oss våra kvantiteter \(3x = y\).
Svar: C

17. y < 0

  1. Kvantitet I: -2y
  2. Kvantitet II: -(2y)
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Kvantiteterna är detsamma, dvs \(-(2y) = -2y\)
Till exempel om \(y =-3\) får vi
\(-2y = -2\cdot (-3) = 6\) och
\(-(2y) = -(2\cdot (-3)) =-(-6) = 6\)

Svar: C

18.

z ≠ 90°

  1. Kvantitet I: x
  2. Kvantitet II: 90°-y
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Summa i triangel 180°, alltså vet vi att 180°=x+y+z, vi använder detta för att undersöka kvantiteterna
Kvantitet I: x=180-z-y
Kvantitet II: 90-y
Reducera båda kvantiterna med y
Är z<90 så blir Kvantitet I > Kvantitet II
Är z>90 så blir Kvantitet II> Kvantitet I
Alltså obestämbart pga otillräcklig information

Svar: D

19. L1, L2 och L3 är räta linjer. 
L1: y = 2x + 1
L2: y = -x + 4
L3: y = x

  1. Kvantitet I: x-koordinaten för skärningspunkten mellan L1 och L3
  2. Kvantitet II: x-koordinaten för skärningspunkten mellan L2 och L3
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Vi får skärningspunkten genom att sätta ekvationerna lika med varandra, vi byter alltså ut y mot den andra ekvationen och löser den
L1 och L3:
2x+1=x
x=-1
L2 och L3:
-x+4=x
2x=4
x=2
2>-1, därför är Kvantitet II större än I
Svar: B

20. \(x\) är ett heltal större än \(1\)

  1. Kvantitet I: \(\frac{x}{\frac{1}{x+1}}\)
  2. Kvantitet II: \(\frac{x+1}{x}\) 
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Skriv om Kvantitet I genom att multiplicera täljare och nämnare med \(x+1\) då får vi
\(\frac{x}{\frac{1}{x+1}} = \frac{x(x+1)}{\frac{1}{x+1} \cdot (x+1)} = x(x+1) \)
Kvantitet II = \( \frac{x+1}{x} \)
Nu jämför vi dem, och eftersom vi vet att \(x>1\) , därför är Kvantitet I större än Kvantitet II.
Svar: A

21. Den rätvinkliga triangeln T har sidlängderna 3 cm, 4 cm och 5 cm. T har lika stor area som kvadraten K.

  1. Kvantitet I: Omkretsen av T
  2. Kvantitet II: Omkretsen av K 
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

T har kateterna 3 och 4 och då har T och K samma area
\(A = \frac{3\cdot 4}{2}=6\)

Då kan vi ställa upp en ekvation där K har sidan \(x\),
\( x^2=6\)
\( x= \sqrt{6}\)
Nu kan vi beräkna våra kvantiteter som är omkretsen av T och K
Omkretsen för T \(=3+4+5=12\)
Omkretsen för K \(=4\cdot \sqrt{6} < 12\), eftersom \(\sqrt{6} < 3 = \sqrt{9} \)
Alltså omkrets av T > K och Kvantitet I > II

Svar: A

22.  \(y \neq 0\)

\(\frac{x+3y}{y}=2\)

  1. Kvantitet I: \(x\)
  2. Kvantitet II: \(y\)
  1. I är större än II
  2. II är större än I
  3. I är lika med II
  4. informationen är otillräcklig

Vi tar \(\frac{x+3y}{y}=2\) och multiplicerar båda sidor med \(y\) och får
\(x+3y=2y\) minus \(3y\) på båda sidor ger oss \(x=-y\), som kan tolkas som en rät (negativ) linje genom origo.
Olika utfall beroende på y och x som båda kan vara positiva eller negativa, vi har inte fått tillräckligt med information.

Svar: D

Har du en fråga du vill ställa om Provpass 5 - KVA? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se