Matematisk problemlösning

1. \(3(x-4)=5(x+2)\)
Vad är x?

  1. -11 
  2.  -3
  3.  1
  4.  3

Multiplicera in i parenteserna, då fås
\(3x-12=5x+10\)
Vi subtraherar med 3x på båda sidor och får
\(3x-12-3x=5x+10-3x\)
Förenkla, då fås
\(-12=2x+10\)
Ta -10 på båda sidor
\(-12-10=2x+10-10\)
Förenkling ger
\(-22=2x\)
Dela med 2 på båda sidor
\(\frac{-22}{2}=\frac{2x}{2}\)
Utför divisionen
\(-11=x\)

Svar: A

2. Melvin löste ekvationen \(-6(x-2)=4x+4\) felaktigt. Han genomförde uträkningen i följande fyra steg:

I vilket steg uppstod felet?

  1.  Steg 1
  2.  Steg 2
  3.  Steg 3
  4.  Steg 4

I steg 1 har Melvin multiplicerat -6 med -2 och fått det till -12. Minus gånger minus ger ett positivt resultat. Alltså borde det bli 12.

Svar: A

3. Vad är medelvärdet av \(\frac{1}{2}\) och \(\frac{5}{7}\)

  1.  \(\frac{15}{28}\)
  2.   \(\frac{4}{7}\)
  3.   \(\frac{17}{28}\)
  4.   \(\frac{9}{14}\)

För att beräkna medelvärde lägger vi ihop alla värden och delar med antal värden. I detta fall har vi 2 värden och ska då beräkna
\(\frac{\frac{1}{2}+\frac{5}{7}}{2}\)
För att lägga ihop bråken i täljaren, förlänger vi för att få nämnarna är lika.
\(\frac{\frac{1\cdot 7}{2\cdot 7}+\frac{5\cdot 2}{7\cdot 2}}{2}=\frac{\frac{7}{14}+\frac{10}{14}}{2}=\frac{\frac{17}{14}}{2}\)
För att göra denna division gör vi om den till en multiplikation genom att invertera värdet på nämnaren, eller för att dela med 2 kan vi skriva det som att multiplicera med en halv.
\(\frac{17}{14}\cdot \frac{1}{2}= \frac{17\cdot1}{14\cdot 2} = \frac{17}{28}\)

Svar: C

4. Vilket svarsalternativ är en ekvation för den räta linjen i figuren?

  1.  \(y=\frac{2}{3}x-2\)
  2.   \(y=\frac{3}{2}x-2\)
  3.   \(y=\frac{2}{3}x+3\)
  4.   \(y=\frac{3}{2}x+3\)

Räta linjens ekvation \(y=kx+m\)
\(k\) som motsvarar lutningen räknar vi ut genom att välja två punkter på linjen
Vi väljer punkterna \((0,-2)\) och \((3,0)\)
\(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
\(k=\frac{0-(-2)}{3-0}\)
\(k=\frac{2}{3}\)
m hittar vi i grafen när \(x=0\), dvs då är \(y=-2\)
Det ger lösningen A
Svar: A

5. Vad är \(\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}{\frac{1}{6}}\)

  1.  \(\frac{1}{27}\)
  2.   \(\frac{2}{3}\)
  3.   \(\frac{3}{2}\)
  4.   \(\frac{27}{10}\)

Först inverterar vi nämnaren och får
\(\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}{\frac{1}{6}} = (\frac{1}{4}+\frac{1}{5}) \cdot \frac{6}{1} = (\frac{1}{4}+\frac{1}{5}) \cdot 6\)

Vi förlänger båda bråk för att få samma nämnare

\((\frac{1\cdot 5}{4 \cdot 5}+\frac{1\cdot 4}{5 \cdot 4}) \cdot 6= (\frac{5}{20}+\frac{4}{20}) \cdot 6 = \frac{9}{20} \cdot 6 = \frac{9\cdot 6}{20} = \frac{54}{20}\)

Faktorisera bråket för att dividera bort gemensamma faktorer.

\(\frac{54}{20} = \frac{9\cdot 3 \cdot 2}{5 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{9\cdot 3}{5 \cdot 2}= \frac{27}{10}\)

Svar: D

6.

 

Linjerna L1 och L2 är parallella. Hur stor är vinkeln v?

  1.  53°
  2.  56°
  3.  66°
  4.  71°


Vi ritar ut två vinklar i triangeln \(\alpha\) och \(\beta\)
Vinkeln 53° och vinkeln \(\alpha\) är vertikalvinklar, alltså gäller \(\alpha\) =53°.
Vinklarna \(\alpha\), \(\beta\), och 71° bildar en triangel, som har vinkelsumman 180°.
Alltså måste \(\alpha+\beta+71^{\circ} = 53^{\circ}+\beta+71^{\circ} = 124^{\circ}+\beta = 180^{\circ}\).
\(\beta = 180^{\circ}-124^{\circ} = 56^{\circ}\).
Vinklarna \(\beta\) och \(v\) är vertikalvinklar, alltså gäller \(v=\beta=56^{\circ}\)
Svar: B

7. Vad är \(0{,}08\cdot 0{,}03\)?

  1. \( 0{,}00024\)
  2. \( 0,0024\)
  3.  \(0,024\)
  4.  \(0,24\)

Vi skriver om decimaltalen som bråk, dvs hundradelar
\(0,08 = \frac{8}{100}\)
\(0,03 =\frac{ 3}{100}\)
Nu utför vi multiplikationen
\(0,08 \cdot 0,03 = \frac{8}{100}\cdot \frac{3}{100} = \frac{8\cdot 3}{100\cdot 100} = \frac{24}{1000} = 0,0024\)
Svar: B

8. Vilket svarsalternativ motsvarar uttrycket \(-28xyz + 20xy\)?

  1.  \(-8z\)
  2.  \(-2xy(14z+10)\)
  3.  \(4xy(5-7z)\)
  4.  \(20xy(1-8z)\)

\(-28xyz + 20xy\)
Bryter ut delad faktor \(xy\)
\(xy(-28z + 20)\)
Faktoriserar 28 och 20 för att hitta delade faktorer
\(xy(-7\cdot 2\cdot 2\cdot z + 2\cdot 5 \cdot 2)\)
Bryter ut delad faktor \(2\cdot 2=4\)
\(4xy(-7z + 5) = 4xy(5 - 7z)\)

Svar: C

9. En funktion f ges av f(x) = kx + m, där m = 7 och f(10) = 3. Vad är f(20)?

  1.  -43
  2.  -1
  3.  6
  4.  15

Sätt in x = 10 och m = 7.
f(10) = 3 ger
\(3 = k\cdot 10 + 7\)
\( -4 = 10k \)
\(k=\frac{-2}{5}\)
För att lösa f(20) vet vi att \(x=20, k=\frac{-2}{5} \text{ och } m=7\)
\(f(20)=\frac{-2}{5}\cdot 20+7=-8+7=-1\)
Svar: B

10. Fyrhörningen ABDF är en kvadrat. Hur stor är arean av triangeln ACE?

  1.  3,5 cm2
  2.  4 cm2
  3.  4,5 cm2
  4.  5 cm2

Vi beräknar arean på hela kvadraten först
ABDF: Sidlängd: 2+1=3 cm
Area för ABDF \(=3^2=9 \text{ cm}^2\)
Nu beräkar vi arean för de tre trianglarna ABD, AFE och CDE
ABC: Bas: 2+1=3 cm, Höjd: 1 cm
Area för ABC \(=\frac{3 \cdot 1}{2}=\frac{3}{2} \text{ cm}^2\)
AFE: Bas: 2+1=3 cm, Höjd: 1 cm
Area för AFE \(=\frac{3 \cdot 1}{2}=\frac{3}{2} \text{ cm}^2\)
CDE: Bas: 2=2 cm, Höjd: 2 cm
Area för CDE \(=\frac{2 \cdot 2}{2}=2 \text{ cm}^2\)
Nu kan arean av triangeln ACE beräknas genom att ta arean av ABDF och ta bort areorna av ABC, AFE, CDE.
Arean av (ACE) \(=9-(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+2)=9-5=\text{ cm}^2\)
Svar: B

11. Vilket svarsalternativ är lika med \(3(4\cdot 3^4-3^4)\)?

  1.  \(12\)
  2.  \(3^5\)
  3.  \(4\cdot3^5\)
  4.  \(3^6\)

Vi börjar med att bryta ut \(3^4\) ut parentesen
\(3(4\cdot 3^4-3^4)=3\cdot 3^4(4-1)=3\cdot 3^4 \cdot 3 =3^6\)
Svar: D

12. För vilket svarsalternativ gäller med säkerhet att a2b - ab2 > 0?

  1. a < 0, b > 0
  2. a > 0, b < 0
  3. a < 0, b < 0
  4. a > 0, b > 0

\(a^2>0\) för alla \(a, \text{ så } a^2b>0 \text{ då } b>0\)
\(b^2>0\) för alla b, så \((-ab^2)>0 \text{ då } a<0\)

Svar: A

Har du en fråga du vill ställa om Provpass 5 - XYZ? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se