Kvantitativa resonemang
23. Jenny, Lina och Susanne spelar varsitt instrument i ett band. En av dem spelar elbas, en spelar gitarr och en spelar trummor. Vem spelar vilket instrument?
(1) Det är Jenny eller Lina som spelar elbas. Susanne spelar inte trummor.
(2) Det är Susanne eller Lina som spelar gitarr. Jenny spelar inte trummor.
Tillräcklig information för lösningen erhålls
- i (1) men ej i (2)
- i (2) men ej i (1)
- i (1) tillsammans med (2)
- i (1) och (2) var för sig
- ej genom de båda påståendena
Med informationen i endast (1):
Elbas: Jenny eller Lina.
Eftersom Susanne inte spelar trummor måste hon spela gitarr.
Då återstår trummor till Jenny eller Lina.
Vi får alltså inget entydigt svar.
Med informationen i endast (2):
Gitarr: Susanne eller Lina.
Eftersom Jenny inte spelar trummor måste hon spela elbas.
Då återstår trummor till Susanne eller Lina.
Precis som med informationen i endast (1), så får vi inget entydigt svar.
Med både (1) och (2):
Från (1): Susanne spelar inte trummor → hon spelar gitarr.
Från (2): Jenny spelar inte trummor och spelar inte gitarr → hon spelar elbas.
Då återstår att Lina spelar trummor.
Vi får en entydig lösning:
Gitarr: Susanne,
Elbas: Jenny,
Trummor: Lina.
Svar: C
24. Hur många klasskamrater har Vilgot?
(1) Om Vilgot hade haft ytterligare tre klasskamrater, så skulle antalet elever i klassen vara jämnt delbart med 5.
(2) Vilgot har ett udda antal klasskamrater.
Tillräcklig information för lösningen erhålls
- i (1) men ej i (2)
- i (2) men ej i (1)
- i (1) tillsammans med (2)
- i (1) och (2) var för sig
- ej genom de båda påståendena
Med informationen i (1):
Om antalet i hans klass + 3 är jämnt delbart med 5 kan man få ut det genom att ta multiplar 5 och subtrahera 3. t.ex. 25-3 eller 30-3. Detta ger dock inget entydigt svar eftersom det finns flera möjligheter
Med informationen i (2):
Ett udda antal klasskamrater ger även här flera alternativ och inga entydiga svar. t.ex. 21, 23, 25 hade alla kunnat vara lösningar med endast informationen i (2).
Om man kombinerar (1) med (2) så blir informationen - udda tal som adderade med 3 och är delbara med 5. 27 men även 17 skulle fungera här. Alltså har vi flera lösningar och inget entydigt svar med (1) och (2).
Svar: E
25. Lindas kylskåp har tre hyllor. I kylskåpet finns det endast ett mjölkpaket, en
ketchupflaska och ett salladshuvud. På vilken hylla finns mjölkpaketet?
(1) Mjölkpaketet och ketchupflaskan finns på samma hylla. Salladshuvudet finns på den nedersta hyllan.
(2) Den översta hyllan är tom. Salladshuvudet finns på hyllan under mjölkpaketet.
Tillräcklig information för lösningen erhålls
- i (1) men ej i (2)
- i (2) men ej i (1)
- i (1) tillsammans med (2)
- i (1) och (2) var för sig
- ej genom de båda påståendena
Med informationen i (1):
Vi vet inte vilken hylla mjölkpaketet är på. Det hade kunnat vara på vilken hylla som helst. Ingen entydig lösning med (1).
Med informationen i (2):
Översta hyllan är tom och vi vet att mjölkpaketet är över salladshuvudet. Detta innebär att mjölkpaketet måste vara i mitten.
Svar: B
26. En grupp består av \(x\) personer, där \(20 < x < 60\). Vilket värde har \(x\)?
(1) Gruppen kan delas in i mindre grupper med sju personer i varje grupp.
(2) Om gruppen delas in i mindre grupper med fem personer i varje grupp, så blir det fyra personer över.
Tillräcklig information för lösningen erhålls
- i (1) men ej i (2)
- i (2) men ej i (1)
- i (1) tillsammans med (2)
- i (1) och (2) var för sig
- ej genom de båda påståendena
Påstående (1) säger oss att \(x\) är delbart med sju. Det ger möjliga värden på \(x\): \(21, 28, 35, 42, 49, 56\) i intervallet.
Det ger oss alltså inget unikt svar; informationen är i sig själv otillräcklig.
Påstående (2) säger oss att resten när vi delar \(x\) med fem är fyra, eller uttryckt med moduloräkning att \(x\equiv4\pmod{5}\).
Det ger möjliga värden på \(x\): \(24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59\) i intervallet.
Även denna information är i sig själv otillräcklig.
Men om vi kombinerar informationen i (1) och (2) ser vi att ett (och endast ett) värde förekommer i båda listorna. Nämligen \(49\).
Vi kontrollerar: \[49 / 7 = 7\] så \(49\) är delbart med \(7\), och \[49\equiv4\pmod{5}\] Alltså är lösningen entydig.
Svar: C
27. Hur stor area har den rätvinkliga triangeln ABC?
(1) I triangeln ABC är hypotenusan 4 cm, och den kortare kateten är 2 cm.
(2) I triangeln ABC är hypotenusan 4 cm, och vinkeln mellan hypotenusan och den kortare kateten är 60°.
Tillräcklig information för lösningen erhålls
- i (1) men ej i (2)
- i (2) men ej i (1)
- i (1) tillsammans med (2)
- i (1) och (2) var för sig
- ej genom de båda påståendena
Påstående (1) ger oss både värdet på hypotenusan och en av kateterna. Det är nog med information för att räkna ut värdet på den andra katetern med hjälp av pythagoras sats.
Kortare katet: 2 (vi kallar den a)
Längre katet: okänd (vi kallar den b)
Hypotenusan: 4 (vi kallar den c).
Pythagoras sats:
\[a^2 + b^2 = c^2 \Rightarrow b = \sqrt{c^2 - a^2} =\] \[=\sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt3\]
Med hjälp av värdena på a och b kan vi räkna ut Arean.
Arean \(= \dfrac{a\cdot b}{2} = 2\cdot \sqrt3\)
Informationen i (1) räcker alltså för att räkna ut arean.
Påstående (2) ger oss hypotenusan 4 cm och vinkeln mellan hypotenusan och den kortare kateten som 60°.
Eftersom \(\cos(v)= \dfrac{\text{närliggande katet}}{\text{hypotenusa}}\)
får vi kortare kateten: \[\cos(60°)\cdot 4 = 0{,}5\cdot 4 = 2\ \text{cm.}\] Och eftersom \(\sin(v) = \dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusa}}\)
får vi längre kateten: \[\sin(60°) \cdot 4 = \frac{\sqrt3}{2}\cdot 4 = 2\sqrt3\ \text{cm.}\] Arean blir då \[A = (2 \cdot \dfrac{2\sqrt3}{2} = 2\sqrt3\] Informationen i (2) är alltså också tillräcklig i sig själv! Båda påståendena ger var för sig tillräcklig information för att bestämma arean, och de ger dessutom samma triangel.
Svar: D
28. En affär säljer madrasser: hårda och mjuka. Var och en av madrasserna är 90 cm bred
eller 120 cm bred. Affären har 35 madrasser. Hur många av madrasserna är mjuka?
(1) Tjugo av madrasserna är 90 cm breda, och hälften av dessa är mjuka.
(2) Av de hårda madrasserna är tio stycken 90 cm breda och sex stycken 120 cm breda.
Tillräcklig information för lösningen erhålls
- i (1) men ej i (2)
- i (2) men ej i (1)
- i (1) tillsammans med (2)
- i (1) och (2) var för sig
- ej genom de båda påståendena
Det är totalt 35st madrasser, varje madrass är antingen hård eller mjuk, och antingen 90 cm eller 120 cm bred. Vi söker antalet mjuka madrasser.¨
Påstående (1) säger oss att 20 madrasser är 90 cm breda och att hälften av dessa är mjuka, alltså 10 stycken mjuka 90-cm-madrasser. Men vi vet inte hur många av de resterande 15 madrasserna (som är 120 cm breda) som är mjuka. Det kan vara allt från 0 till 15.
Informationen är i sig själv otillräcklig!
Påstående (2) säger oss att det finns 10 hårda 90-cm-madrasser och 6 hårda 120-cm-madrasser, alltså totalt 16 hårda madrasser. Då måste antalet mjuka madrasser vara 35 − 16 = 19. Informationen i (2) är alltså tillräcklig i sig själv! Vi behöver inte kombinera påståendena, (2) räcker helt på egen hand medan (1) inte gör det.
Svar: B