Matematisk problemlösning
1. Vilket svarsalternativ motsvarar uttrycket \((x+3)(x-5)\)?
- \(x^2 - 15\)
- \(x^2 - 2\)
- \(x^2 - 2x - 15\)
- \(x^2 - 2x - 8\)
\[(x+3)(x-5) = x^2 -5x +3x-15 = x^2 -2x -15\] Svar:: C
2. \(f(x) = \dfrac{1}{5}\,x + \dfrac{3}{5}\)
Vilket svarsalternativ är lika med \(f\!\left(\dfrac{5}{3}\right)\)?
- \(\frac{3}{15}\)
- \(\frac{1}{2}\)
- \(\frac{14}{15}\)
- \(1\)
Sätt in \(x = \dfrac{5}{3}\) och addera sedan termerna \[f\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{1}{5}\cdot\frac{5}{3} + \frac{3}{5} = \frac{1}{3} + \frac{3}{5} = \frac{5}{15} + \frac{9}{15} = \frac{14}{15}\] Svar: C
3. Hur många trubbiga vinklar kan en triangel som mest ha?
- 0
- 1
- 2
- 3
Om en vinkel är trubbig så måste de andra vara spetsiga annars går det inte att bilda en triangel.
Svar: B
4. Varje månad sparar Nils \(\dfrac{1}{5}\) av sin lön. Resten av lönen spenderar han.
Vad är kvoten mellan det Nils sparar och det han spenderar under en månad?
- 1/6
- 1/5
- 1/4
- 1/3
Nils sparar \(\dfrac{1}{5}\) av sin lön och spenderar \(\dfrac{4}{5}\). Kvoten blir: \[\dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{1}{5}\cdot\frac{5}{4} = \frac{1}{4}\] Svar: C
5. \(\dfrac{8}{15} \cdot x = \dfrac{2}{3}\)
Vilket värde har \(x\)?
- \(\frac{45}{26}\)
- \(\frac{5}{4}\)
- \(\frac{16}{45}\)
- \(\frac{4}{5}\)
Lös ekvationen \(\dfrac{8}{15}x = \dfrac{2}{3}\) genom att multiplicera båda sidor med \(\dfrac{15}{8}\): \[x = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{15}{8} = \dfrac{5}{4}\] Svar: B
6. I en låda finns det tjugo bollar numrerade med heltalen \(1—20\). Siri plockar två bollar ur lådan utan att lägga tillbaka dem. Den ena bollen har nummer \(11\) och den andra bollen har nummer \(18\). Siri plockar slumpmässigt en tredje boll ur lådan. Hur stor är sannolikheten att numret på den tredje bollen är större än \(11\) och mindre än \(18\)?
- \(\frac{1}{3}\)
- \(\frac{2}{5}\)
- \(\frac{4}{9}\)
- \(\frac{3}{10}\)
Det finns (18) bollar kvar, varav (6) har nummer mellan (11) och (18) (dvs. 12, 13, 14, 15, 16 och 17). Sannolikheten att få en boll mellan 11 och 18 blir \(\dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}\).
Svar: A
7. Vad är tiotalssiffran i \(44\cdot 625\)?
- 0
- 2
- 4
- 8
Produkten blir \(44\cdot 625 = 27\,500\), alltså är tiotalssiffran 0.
Svar: A
8. \(2^3 \cdot 8^2 = 2^x\)
Vilket värde har \(x\)?
- 6
- 9
- 15
- 18
Skriv allt med basen (2): \[8 = 2^3 \Rightarrow 8^2 = (2^3)^2 = 2^6\] Då blir \[2^3 \cdot 2^6 = 2^{3+6} = 2^9\] Alltså \(2^9 = 2^x\), vilket ger \(x = 9\).
Svar: B
9. Den räta linjen \(L\) ges av ekvationen \(2y + x = 2\).
Vilket svarsalternativ visar linjen \(L\)?
Börja med att skriva om ekvationen på k-form: \[2y = 2 - x \Rightarrow y = -\tfrac{1}{2}x + 1\] Lutningen är negativ, alltså lutar linjen nedåt när \(x\) ökar (så endast A eller B kan stämma).
Sätt \(x = 0\): då blir \(y = 1\), alltså skär linjen \(y\)-axeln vid 1.
Endast linje B uppfyller detta.
Svar: B
10. Vad är \(150\%\) av \(50\%\) av \(60\)?
- 45
- 60
- 75
- 90
"Procent av" är samma sak som procent gånger värde.
\(150\% = 1{,}5\) och \(50\% = 0{,}5\)
Beräkna stegvis: \[1{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 60 = 1{,}5 \cdot 30 = 45\] Svar: A
11. En cylinder har volymen \(16\;\text{cm}^3\) och höjden \(1\;\text{cm}\). Vilket svarsalternativ ligger närmast cylinderns radie?
- 2 cm
- 4 cm
- 5 cm
- \(\sqrt5\) cm
En cylinders volym är basytan gånger höjden.
Basytan är \(\pi\cdot r^2\).
I detta fall så är höjden 1 cm så att volymen \(16=\pi\cdot r^2\).
Radien är då \(r = \sqrt{16/\pi}\).
\(\pi\) är lite större än 3 så argumentet är ungerfär 5. Svaret ligger alltså närmast \(\sqrt5\)
Svar: D
12. Vilket svarsalternativ motsvarar \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}\)?
- 1
- \(\frac{\sqrt{3}}{6}\)
- \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
- \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)
Skriv om uttrycket: \[\dfrac{2\sqrt3}{3\sqrt2} = \sqrt{\dfrac{4\cdot 3}{9\cdot 2}} = \sqrt{\dfrac{12}{18}} = \sqrt{\dfrac{2}{3}}\] Svar: C